Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на 3 (см) Как решить?

Числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

0 2019-09-26 02:18:29

Ответов: 2

а) Могут.

Например, группы (4), (2; 6) и (1; 3; 5; 7; 8; 9; 16). В первых двух группах ср. арифм. равно 4.

б) Не могут.

Допустим, первая группа состоит из n чисел, вторая - из m, а третья - из p. Положим также, что все три значения ср. арифметич. равны одному числу х. В этом случае

nx + mx + px = 61 или

x(n + m + p) = 61.

Учитывая, что (n + m + p) = 10, получаем х = 6,1.

Вместе с тем, сумма чисел в каждой группе является целым числом, но при данном значении х целое число получится только при количестве чисел в каждой группе, кратном 10, что невозможно, т.к. их всего 10. Получили противоречие.

в) Для нахождения наименьш. значения наибольш. ср. арифм. этот показатель в каждой группе должен быть приближен к 6,1 (ср. арифм. указанных в задании чисел) Минимум чисел в двух группах - два. Наиболее приближенные, но меньшие 6,1 числа - 6 и 5. Тогда ср. арифм. в третьей группе (61 - 5 - 6)/8 = 6,25. Это довольно близко к 6,1, однако проверим вариант, при котором в двух группах три числа.

В этом случае ср. арифм. в обеих группах может быть равным 6, тогда ср. арифм. в третьей группе равно (61 - 3*6)/7 = 43/7, а это еще ближе к 6,1.

При количестве чисел в двух группах, большем трех, ср. арифм. в третьей группе будет больше, нежели 43/7.

При четырех числах ср. арифм. в третьей группе составит 37/6;

при пяти - 6,2;

при шести - 6,25;

при семи - 19/3;

при восьми - 6,5;

при девяти - 7.

Таким образом, наименьш. возможное значение наибольш. из получаемых трёх средних арифметических равно 43/7.

Вариант а) (3,4,5),(2,6),(1,7,8­,9,16).Здесь (3+4+5)/3=(2+6)/2=4.­Можно найти и другие варианты.Вариант б)Пусть у нас 10 наших чисел разбиты на 3 группы по X,Y,Z чисел,тогда (а1+а2+..+ах)/X=(b1+­b2+..+by)/Y=(c1+c2+..­+cz)/Z,=m, где m-среднее арифметическое для каждой группы чисел,а ,например,а1- первое число в первой группе,ах-( а с номером Х )последнее число в первой группе.Известно что 1+2+3+4+5+6+7+8+9+16­=61 =а1+ а2+..+ ах+b1+b2+..+by+ c1+ c2+..+ cz=mX+ mY+ mZ ,то есть m( X+ Y+Z)=61,но ведь (X+Y+Z)=10,отсюда 10m=61, a m=6,1.Теперь рассмотрим число 16,пусть у нас вместе с ним будут числа,которые дадут в сумме N.Тогда 16+N=6,1k,где k-количество чисел в этой группе.Эти числа N и k- целые числа.Это равенство имеет решение лишь при k=10, что противоречит условию k<10 и даже k меньше или равно 8. Поэтому во всех трёх группах не может быть одно и тоже среднее арифметическое Вариант в) Я не смог составить какие -то выражения,но можно предположить что наименьшее из наибольших возможно при некоем наибольшем из наименьших.Рассмотри­м группы (1,2,16),(2,3,4,5,6,­7,9),(8).Тогда предполагаемое наибольшее из наименьших равно (3+4+5+6+7+9)/7=5,66­, а наименьшее из наибольших 8.Хотя все это недоказательно.Я про вариант в).